Aplicación, Plantear el Modelo Matemático.

Hola, a continuación una aplicación de la programación lineal, la idea es que plantees el modelo matemático y lo resuelvas usando software, que lo puedes bajar dando click aquí lo encontrarás en la carpeta 5+

Un agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes, A, B y C. Las necesidades mínimas son: 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado existen dos marcas populares de fertilizantes. Fast Grow, con un costo de $4 por bolsa con 3 unidades de A, 5 de B y 1 unidad de C. Easy Grow, con un costo de $3 por bolsa con 2 unidades de cada nutriente. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se mantenga el requerimiento de nutrientes, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar? La información está resumida como sigue:

Grafica de desigualdades

La grafica de desigualdades, en el plano cartesiano es un semiplano, que al intersectarse con las otras desigualdades, forman una región que en programación lineal le llamanos, región factible. A continuación te muestro un video que te ayudará a comprender esta tematica.

Este video lo encontre en youtube, creo que les puede ayudar, en lo referente a graficar las desigualdades y te ayudará construir la solución por el método gráfico.

Simplex con tres restricciones

A continuación, comentaremos la forma de resolver, por método simplex, un ejercicio de maximización con tres desigualdades, para cada una de las desigualdades se manejará una variable de holgura, s1, s2, s3, estás mismas variables, se agrerán a la función objetivo, con el coeficiente cero 0s1, 0s2, 0s3.

Maximizar Z= 12x + 4y

Sujeta a:


x + 2y ≤ 800
x + 3y ≤ 6002x + 3y ≤ 200



Vamos construyendo la solución de este problema, ¿cuál es el primer paso? quien se anima.

Ejercicios para compartir

En este ejercicio, lo interesante es el procedimiento, puede ser que lo veas muy sencillo, digo para algunos, para otros no tanto, pero esa sencillez se aplica para situaciones de 8 variables con 15 restricciones, ya que el problema crece en cantidad, pero la mecanica o el procedimiento es el mismo, la idea es que tu entiendas que es y como trabaja el complex, perdón el simplex.

Maximizar Z= 40x + 80y

Sujeta a: 20x + 10y ≤ 60
10x + 10y ≤ 40

X1, X2 ≥ 0
Quien se anima a decir , ¿cual es el primer paso?

Otro Ejemplo Simplex

Pongo otro ejemplo del método complex, perdón simplex, hay que tener paciencia al principio para lograr dominar este algoritmo, que es seguir una serie de pasos y la practica te llevara a dominarlo. También existe software que te facilitara la vida ya sea para comprobar tus resultados o para resolver situaciones en las que sean muchas desigualdades y variables.

Maximizar Z = 8X1 + 6X2

Sujeta a: 2X1 ≤ 8
6X1 + 4X2 ≤ 18
X1, X2 ≥ 0

Método Simplex, Procedimiento

Resolver por método simplex:

Maximizar Z = 4X1 + 5X2

Sujeta a: 2X1 + 3X2 ≤ 120
2X1 + 1.5X2 ≤ 80
X1 , X2 ≥ 0
Primer Paso:

Completar las desigualdades con las variables de holgura, una variable de holgura, por cada restricción (desigualdad)

2X1 + 3X2 + S1 = 120

2X1 + 1.5X2 + S2 = 80

Puedes observar que el coeficiente de X1 es 2, el coeficiente de S1 es ¿ ? 1 en la primera restricción, el coeficiente de S2 es 1 en la segunda restricción.

Ahora le daremos formato a estas desigualdades, con la finalidad de en el siguiente paso, completar la tabla simplex, también completaremos la función objetivo.

Z = 4X1 + 5X2 +0S1 + 0S2

2X1 + 3X2 + 1S1 + 0S2 = 120
2X1 + 1.5X2 + 0S1+ 1S2 = 80



Ahora realizaremos la multiplicación de los cero de la columna de la izquierda por cada una de las columnas de la derecha, x1, x2, s1, s2.

Tu dirás entonces siempre es cero, si , mi estimado, en la primera tabla este renglón (zj) siempre es cero.

Para obtener el siguiente reglón (cj – zj reglón de criterio simplex), se restan el reglón cj menos el reglón zj . A este nuevo reglón se le llama reglón de criterio simplex, porque es el que nos va ha determinar cuando termina el procedimiento del método simplex.

¿Cuándo termina, o que nos indica que ya terminamos? Cuando todo los resultados del reglón son ceros o números negativos, hemos terminado.
Para este caso no hemos terminado, ya que en el reglón de criterio simplex, tenemos dos numero positivos, lo cual nos indica que debemos continuar.

Siguiente paso: es determinar la columna pivote, esto se hace buscando en el reglón de criterio simplex, el numero mayor positivo, este número me indica donde esta la columna pivote.

Siguiente paso es determinar el reglón pivote, dividiendo la columna bj entre la columna pivote.
De esta división se elige el reglón donde el resultado de la división haya sido menor, y este se toma como reglón pivote.
Ahí donde se cruzan esta el elemento pivote, al cual debemos de convertirlo en 1 y los números que estén arriba o debajo de este pivote, convertirlos en cero.